Prisiminkite tą akimirką matematikos pamokoje, kai mokytojas parašė ant lentos 3,14159… ir pasakė, kad tai tęsiasi iki begalybės. Dauguma iš mūsų tuo metu pagalvojo: „Na ir kas?” Bet pasirodo, kad pi - tas nepastovus, neracionalus, transcendentinis skaičius - yra vienas iš tų dalykų, kurie tyliai valdo mūsų kasdienį gyvenimą, net jei mes apie tai negalvojame nei sekundę.
Pi (π) yra apskritimo perimetro ir skersmens santykis. Visada. Absoliučiai bet kuriame apskritime - nuo mikroskopinės ląstelės iki Saulės sistemos - šis santykis yra lygiai toks pat: 3,14159265358979… ir taip toliau iki begalybės, be jokio pasikartojančio šablono. Tai jau savaime yra šiek tiek bauginanti mintis, ar ne?
Pi praktikoje: nuo picos iki architektūros
Bet palikime filosofiją šalį. Pakalbėkime apie tai, kur šis skaičius iš tikrųjų pasirodo jūsų gyvenime - nuo ryto kavos puodelio iki GPS navigacijos, kuri vedė jus į darbą šiandien.
Picos dydžio simbolika: kodėl didesnė pica apsimoka?
Pradėkime nuo kažko labai konkretaus - maisto. Jei kada nors pirkote picą ir svarstėte, ar geriau imti dvi mažas ar vieną didelę, jūs iš tikrųjų sprendėte pi problemą. Picos plotas skaičiuojamas pagal formulę πr², kur r yra spindulys. Tai reiškia, kad padvigubinus skersmenį, plotas išauga keturis kartus, o ne du. Štai kodėl viena 30 cm pica dažnai yra geriau nei dvi 15 cm - gaunate žymiai daugiau tešlos ir įdaro už mažesnę kainą.
Praktinis patarimas: kitą kartą picerijoje prieš rinkdamiesi dydį, greitai paskaičiuokite plotą. 30 cm picos spindulys yra 15 cm, vadinasi plotas yra π × 15² ≈ 707 cm². Dviejų 15 cm picų bendras plotas yra 2 × π × 7,5² ≈ 353 cm². Skirtumas milžiniškas. Picos plotas apskaičiuojamas jos spindulį (pusę skersmens) pakėlus kvadratu ir padauginus iš apskritimo perimetro (3,14).
Tinklaraščio „Planet Money“ autorius Quoctrung Bui papasakojo, kaip kartą su savo draugu inžinieriumi nuėjo į piceriją. Inžinierius pasakė, kad nėra labai alkanas, tačiau vis tiek pasiims 30 centimetrų dydžio picą, vietoje mažesnės 20cm, kadangi 30 centimetrų dydžio pica yra daugiau nei dvigubai didesnė už 20 centimetrų dydžio picą - nors pastaroji yra tik nežymiai pigesnė.
Stebėtis tuo nereikėtų, kadangi matematika šioje vietoje yra paprasta - pica yra apvali, o didėjant jos spinduliui, su juo didėja ir picos plotas. Taigi, 40 centimetrų dydžio pica yra net keturis kartus didesnė už 20 centimetrų picą. O pažvelgus į kainas picerijose, tampa aišku, kad jūs visuomet išlošite pasiėmę kuo didesnę picą. Žinoma, tai tėra matematiniai paskaičiavimai, kurie parodo, kad užsisakyti didesnę picą labiau apsimoka finansiškai.
Šiame tinklaraštyje taip pat pateikiama informacija, kurioje lyginamos vidutinės picų kainos JAV. Pavyzdžiui, viena 45 centimetrų dydžio pica yra 1,7 karto didesnė už vieną 41 centimetro dydžio picą, ir net 5,1 karto didesnė už vieną 20 centimetrų dydžio picą. Pažvelgus į šiuos skaičius, tampa aišku, kad pirkdami mažesnę picą jūs gerokai permokate. Tai visuomet labiau apsimoka užsisakyti didesnę picą.
| Picos skersmuo | Apytikslis plotas (cm²) | Kaina | Papildoma kaina, norint gauti 45 cm picos kiekį |
|---|---|---|---|
| 45 cm | 1590 | 18,68 $ | 0,00 $ |
| 41 cm | 1320 | (kad gautumėte tiek pat kaip 45 cm, reikia 1.2 vnt.) | 5,29 $ |
| 20 cm | 314 | (kad gautumėte tiek pat kaip 45 cm, reikia 5.1 vnt.) | 23,09 $ |
Deja, valgiaraštyje nurodytas picos skersmuo ir tikrasis ne visada sutapo. Pavyzdžiui, šeimyninė 50 cm skersmens „Čili“ pica išmatavus pasirodė esanti tik 47 centimetrų. Tai reiškia, kad jūs gaunate 228 kvadratiniais centimetrais mažiau, tačiau už juos sumokate. Dviem centimetrais mažesnė nei nurodyta valgiaraštyje buvo ir „Pizza Jazz“ pica. Tačiau mūsų skaičiavimais, net jei verslininkai kelis centimetrus nuo mūsų nusuka, užsisakyti didesnę picą pigiau.
Išvada: Mažesnes picas apsimoka rinktis tik tuo atveju, jei nesutariate dėl jų skonio. Jei norite mokėti mažiau, o valgyti daugiau, vietoj dviejų 20 cm skersmens picų rinkitės vieną 30 cm skersmens picą. Tiesiog paprašykite antros lėkštės ir poros įrankių.
Kaip apskaičiuoti maisto išlaidas (padvigubinti pelną)
Pi universalumas: nuo kosmoso iki gyvų organizmų
Pi neapsiriboja vien apskritimais. Jis pasirodo visur, kur yra bet kokio pobūdžio ciklinis judėjimas - o tai apima beveik viską, kas juda gamtoje.
Pi inžinerijoje ir statybose
Statybose pi yra tiesiog neišvengiamas. Kiekvienas apvalus kolonas, kupolas, arka ar tunelo skerspjūvis reikalauja pi skaičiavimų. Romėnai, statydami Panteoną - tą nuostabų 43 metrų skersmens kupolą - turėjo gerai išmanyti šio skaičiaus esmę, net jei jie jį vadino kitaip ir naudojo apytikslę reikšmę. Šiuolaikiniai inžinieriai, projektuodami vandentiekio vamzdžius, tunelių ventiliacijos sistemas ar apvalias pastato konstrukcijas, kiekvieną dieną naudoja pi tūkstančius kartų - tiesiog jų kompiuteriai tai daro automatiškai.
Pi laike ir kosmose
Čia tampa tikrai įdomu. Laikrodžio rodyklės juda apskritimu. Planetų orbitos yra elipsės, kurių matematiniame apraše figūruoja pi. Bangos - tiek vandens, tiek garso, tiek šviesos - aprašomos sinusinėmis funkcijomis, kurios yra tiesiogiai susijusios su pi. Elektros srovė, kurią naudojate įkraudami telefoną, yra kintamoji - ji svyruoja pagal sinusinę kreivę 50 kartų per sekundę (Europoje), ir ta kreivė neegzistuotų be pi.
Astronomijai pi yra tiesiog gyvybiškai svarbus. Kai NASA apskaičiuoja kosminio zondo trajektoriją, pi naudojamas tūkstančiuose lygčių. Įdomu tai, kad NASA inžinieriai praktiniams skaičiavimams naudoja pi tik iki 15 skaitmenų po kablelio. Jei norėtumėte apskaičiuoti žinomosios visatos perimetrą su paklaida, mažesne nei vieno vandenilio atomo dydžio, pakaktų vos 40 skaitmenų. Tai rodo, kad begalinis pi skaičių skaičius yra labiau matematinis faktas nei praktinė būtinybė.
Pi medicinoje ir biologijoje
Žmogaus kūnas yra kupinas apvalių struktūrų, ir kiekviena iš jų susijusi su pi. Kraujagyslės yra cilindrai - jų pralaidumas skaičiuojamas naudojant pi. Širdis siurbia kraują per apvalias vožtuvo angas. Akies vyzdys yra apskritimas, kurio plotas tiesiogiai lemia, kiek šviesos patenka į akį.
Medicinoje pi ypač svarbus vaizdinės diagnostikos srityje. Kompiuterinė tomografija (KT) ir magnetinio rezonanso tomografija (MRT) remiasi matematiniais algoritmais, kuriuose pi yra esminis elementas. Kai gydytojas žiūri į jūsų smegenų ar širdies pjūvio vaizdą, tas vaizdas buvo sukonstruotas naudojant Furjė transformacijas - matematinį įrankį, kuriame pi pasirodo nuolat ir neišvengiamai.
Dar įdomiau - DNR spiralė. Dviguba helisė, kurioje saugoma visa jūsų genetinė informacija, yra matematiškai aprašoma naudojant trigonometrines funkcijas, kurios yra neatsiejamos nuo pi. Galima sakyti, kad pi yra užkoduotas pačioje jūsų egzistencijos pagrinde - nors tai skamba kiek per poetiškai.
Pi technologijose ir skaitmeniniame pasaulyje
Kiekvieną kartą, kai jūsų telefonas nustato jūsų buvimo vietą, GPS sistema atlieka skaičiavimus sferinėje geometrijoje. Žemė yra (apytiksliai) sfera, ir atstumai bei kryptys joje skaičiuojami naudojant formulę, kurioje pi yra kertinis elementas. Haversino formulė, kuria remiasi GPS navigacija, atrodo taip sudėtingai, kad geriau jos čia necituoti, bet žinokite - be pi jūsų telefonas nežinotų, kur jūs esate.
Grafikos procesoriai, kurie generuoja vaizdus jūsų kompiuterio ar telefono ekrane, nuolat skaičiuoja apvalias formas, šviesos atspindžius ir šešėlius. Kiekvienas apvalus mygtukas programėlėje, kiekvienas 3D žaidimo kamuolys, kiekvienas animacinis filmas - visa tai reikalauja pi skaičiavimų. Kai žaidžiate mobilų žaidimą, jūsų telefono procesorius per sekundę atlieka milijonus su pi susijusių operacijų.
Signalų apdorojimas - tai sritis, kur pi tiesiog dominuoja. Muzikos failai, vaizdo įrašai, radijo signalai, WiFi ryšys - visa tai remiasi Furjė analize, kuri be pi neveiktų. Kai klausotės muzikos per ausines, garso bangos buvo skaitmenizuotos, suspaustos ir atkurtos naudojant algoritmus, kuriuose pi pasirodo dešimtys kartų.
Pi istorija: amžių kelionė link begalybės
Tai, kad pi yra svarbus, žmonės suprato labai seniai. Babiloniečiai apie 1900 m. pr. Kr. naudojo reikšmę 3,125. Egiptiečiai Rindo papirusuje (apie 1650 m. pr. Kr.) naudojo 256/81 ≈ 3,1605. Tai buvo nuostabiai tikslūs rezultatai žmonėms, kurie neturėjo nei skaičiuotuvų, nei algebros.
Archimedo metodas - įrašyti ir apibrėžti daugiakampius aplink apskritimą - buvo genialus. Naudodamas 96 kraštinių daugiakampius, jis nustatė, kad pi yra tarp 3 10/71 ir 3 1/7. Tai 250 m. pr. Kr. - be jokios šiuolaikinės matematikos.
Kinų matematikas Zu Chongzhi V amžiuje apskaičiavo pi iki 7 skaitmenų po kablelio - rekordas, kuris išliko beveik tūkstantį metų. Šiandien kompiuteriai apskaičiavo pi iki šimtų trilijonų skaitmenų. 2021 metais Šveicarijos mokslininkai nustatė naują rekordą - 62,8 trilijono skaitmenų. Skaičiavimas truko 108 dienas.
Kodėl žmonės tai daro? Iš dalies - dėl sporto. Iš dalies - kad patikrintų kompiuterių galingumą. Bet iš dalies - dėl to keisto žmogiško noro suprasti kažką, kas atrodo neaprėpiama.
Pi kultūroje ir filosofijoje: kai matematika tampa švente ir apmąstymais
Pi diena ir populiarioji kultūra
Kovo 14-oji (3/14 amerikiečių datos formatu) yra oficiali Pi diena, kurią 2009 metais JAV Kongresas oficialiai pripažino. Tą dieną matematikos entuziastai valgo picą ir pyragus (angliškai „pie” skamba kaip „pi”), skaičiuoja pi skaitmenų konkursus ir rengia visokias su apskritimais susijusias veiklas.
Rekordas įsiminimui - japonas Akira Haraguchi 2006 metais iš atminties atkartojo 100 000 pi skaitmenų. Tai truko 16 valandų. Norėdamas įsiminti tiek skaitmenų, jis sukūrė specialią mnemoniką, kurioje kiekvienas skaitmuo atitinka japonų skiemenį, sudarant ilgas istorijas. Tai rodo, kad žmogaus atmintis gali padaryti nuostabių dalykų, kai yra tinkama motyvacija.
Pi taip pat pasirodė populiariojoje kultūroje. Filmas „Pi” (1998, Darren Aronofsky) - tamsi psichologinė drama apie matematiką, kuris ieško visatos paslėptos tvarkos. Kate Bush dainoje „Pi” ji dainuoja pi skaitmenis. Romane „Gyvenimas Pi” (Life of Pi) pagrindinio veikėjo vardas yra tiesiogiai susijęs su šiuo skaičiumi.
Kaip apskaičiuoti maisto išlaidas (padvigubinti pelną)
Pi kaip begalybės simbolis
Štai kur viskas tampa tikrai įdomu - ir šiek tiek galvą sukančia. Pi yra transcendentinis skaičius, tai reiškia, kad jo negalima išreikšti jokia algebrine lygtimi su sveikaisiais koeficientais. Jis niekada nesibaigia, niekada nepasikartoja. Statistiškai kalbant, kažkur pi skaičių sekoje yra jūsų gimimo data, jūsų telefono numeris, visos Šekspyro raštų raidės, paverstos skaičiais, ir bet kokia kita baigtinė skaičių seka, kurią galite sugalvoti.
Tai dar neįrodyta kaip matematinis faktas - tai yra hipotezė, vadinama pi normalumu - bet daugelis matematikų tiki, kad taip yra. Jei tai tiesa, tada pi savyje talpina visą informaciją, kuri kada nors egzistavo ar egzistuos - tiesiog labai labai giliai pasislėpusią. Praktiškai tai reiškia štai ką: tas paprastas santykis tarp apskritimo perimetro ir skersmens - dalykas, kurį galima išmatuoti su virve ir liniuote - veda į matematinę begalybę. Tai vienas iš tų retų atvejų, kai kasdienė realybė tiesiogiai susiliečia su kažkuo, kas peržengia mūsų intuityvų supratimą.
Picos kepimo orkaitės simboliai ir nustatymai
Šiuolaikinėse orkaitėse yra daugybė skirtingų nuostatų ir funkcijų, padėsiančių pasiekti geriausius maisto gaminimo ir kepimo rezultatus. Šios nuostatos žymimos universaliu simboliu, kurį galima pastebėti ant skirtingų gamintojų orkaičių. Norint padėti geriau suprasti orkaitę ir kuo labiau išnaudoti jos funkcijas, bus paaiškinti naujausių orkaičių su ventiliatoriumi simboliai, grilio simboliai bei valymo ir saugos simboliai.
Standartinė daugybės elektrinių orkaičių su ventiliatoriumi nuostata yra ventiliatoriaus simbolis, dažnai vaizduojamas apskritime. Daugybėje NEFF orkaičių yra CircoTherm® - unikali karšto oro sistema, kuri leidžia kepti ir skrudinti vienu metu skirtingose orkaitės lentynose, todėl tuo pačiu metu galite ruošti skirtingus patiekalus (ir juos paruošti tuo pačiu metu).
Kokia nuostata geriausiai tinka picai? Derindami kaitinimą iš apačios su ventiliatoriumi, užtikrinsite, kad picos padas gražiai paskrus, tačiau ant jos uždėti produktai neperkeps ar nesudegs. Ši ventiliatoriaus su kaitinimu iš apačios nuostata taip pat puikiai tinka kepant tešlos gaminius, kai norima, kad jų įdaras būtų drėgnas. Ieškokite simbolio, kuriame matyti ventiliatorius su linija po juo.
Orkaitės su kaitinimo iš viršaus ir apačios elementais yra labai universalios, kadangi elementus galima įjungti ir išjungti atskirai. Ši nuostata puikiai tinka naudoti tuomet, kai norite traškaus pagrindo ir lengvai apkepto viršaus, pvz., kai kepate pyragus, kišus ir picas.
Kodėl verta žinoti apie pi daugiau nei 3,14?
Taigi kur mes esame? Pi yra ne tik matematikos pamokų kankynė. Jis yra vandentiekio vamzdžiuose po jūsų namu, GPS signale, kuris veda jus per miestą, muzikoje, kurią klausote, ir vaistų dozėse, kurias skaičiuoja gydytojai. Jis yra planetų orbitose ir DNR spiralėse. Jis yra picos dydžio pasirinkime ir kosmoso tyrinėjimo misijose.
Jei norite praktiškai pajusti pi svarbą, štai keletas dalykų, kuriuos galite pabandyti: paimkite bet kokį apvalų daiktą namuose - puodą, stiklinę, skardinę - ir išmatuokite jo perimetrą bei skersmenį. Padalinkite vieną iš kito. Gausite 3,14… Visada. Tai veikia su bet kuriuo apskritimu visatoje, ir kažkodėl tai niekada nenustoja stebinti.
Galbūt svarbiausia pi pamoka yra ne pats skaičius, o tai, ką jis simbolizuoja: paprastas klausimas - koks yra santykis tarp apskritimo perimetro ir skersmens? - veda į begalinę, nepakartojamą, transcendentinę atsakymą. Gamta mėgsta apskritimus. O apskritimai mėgsta pi.