Matematiniai ženklai yra esminė matematikos kalbos dalis. Jie leidžia mums trumpai ir tiksliai išreikšti matematines sąvokas, operacijas ir santykius. Šiame straipsnyje apžvelgsime matematinių ženklų raidą, jų reikšmę ir naudojimą, pradedant nuo seniausių laikų iki šių dienų.
Matematinių ženklų raida ir istorija
Skaitmenis, aritmetinių veiksmų žymėjimo ženklus ir kitus matematikos simbolius žmonės kūrė pamažu per daugelį amžių, glaudžiai siedami juos su aritmetika. Dauguma jų atsirado iš piešinių, brėžinių, raidžių ir žodžių santraupų. Kai kurie matematinių sąvokų ženklai atsirado dar senovėje. Tačiau vieningų aritmetinių simbolių nebuvo net iki XV a. Iki šio amžiaus visi dydžiai ir veiksmai, sąlygos bei atsakymai buvo reiškiami tik žodžiais. Todėl tų laikų algebra vadinama retorine, t.y. žodine.
Pirmieji algebros simboliai ir raidžių naudojimas
Tik antrojoje XV a. pusėje kai kuriose Europos šalyse atsirado pirmieji algebros simboliai ir buvo pradėtos vartoti raidės. XVI amžiaus pabaigoje prancūzų matematikas Fransua Vietas, remdamasis prieš jį susiformavusia simbolika, pradėjo raidėmis žymėti ne tik nežinomuosius, bet ir prie jų esančius koeficientus, pradėjo vartoti bendrą raidinę simboliką. Tačiau užrašydamas lygtis, F. Vietas vietoj simbolių dar vartojo daug žodžių.
Sudėties ir atimties ženklų atsiradimas
Dar XV - XVI a. sudėtis buvo žymima lotyniška raide p ( pirmoji žodžio plus - “daugiau” raidė ), atimtis - raide m ( pirmoji žodžio minus - “mažiau” raidė ). Sudėčiai žymėti buvo vartojamas ir lotyniškas žodis et ( reiškiantis “ir”), kuris, kaip manoma, greitraštyje virto ženklu +. Ženklai + ir - jau pasitaiko XV a. devintojo dešimtmečio rankraščiuose, bet spausdinti pirmą kartą pasirodo Vidmano aritmetikoje. XVII a. minusas buvo žymimas - . Dabartinėje matematikoje vyrauja vienodi arirmetiniai ženklai ir žymenys.
Daugybos ir dalybos ženklų įvedimas
Daugybos ženklą X 1631m. įvedė anglų matematikas Viljamas Otredas. Tašku daugybos veiksmą visada žymėjo įžymus XVII a. vokiečių matematikas G. Pirmą kartą dvitaškiu dalybos veiksmą užrašė Džonsas 1633m.
Kiti svarbūs ankstyvieji ženklai
Skliaustai ir šiuolaikinis lygybės ženklas pirmą kartą aptinkami XVI a. matematikų darbuose. Nelygybės ženklus pirmą kartą pavartojo anglų mokslininkas Hariotas. Jie yra du: > ( daugiau ) ir < ( mažiau ). Jie pradėti vartoti pirmojoje XVII a. pusėje.
Aritmetiniai veiksmai ir jų ženklai
Aritmetiniai veiksmai yra pagrindiniai matematiniai veiksmai, naudojami skaičiams apdoroti. Kiekvienas veiksmas turi savo simbolį, kuris leidžia mums aiškiai ir glaustai išreikšti matematines operacijas.
Sudėtis (+)
Tai prie skaičiaus a pridėti skaičių b - reiškia skaičių a pakeisti b vienetų. Bet koks skaičius, prie jo pridėjus teigiamą skaičių, padidėja, o pridėjus neigiamą skaičių, sumažėja. Ženklas: +.
Atimtis (-)
Dviejų skaičių skirtumas yra teigiamas, kai turinys yra didesnis už atėminį, ir neigiamas, kai tuerinys mažesnis už atėminį. Kai turinys ir atėminys lygūs, skirtumas lygus nuliui. Ženklas: -.
Daugyba (×, ·)
Padauginti, reiškia, vieną skaičių padidinti kito skaičiaus kiekiu. Keičiantis bet kurio dauginamojo ženklui, keičiasi ir sandaugos ženklas, o modulis lieka tas pats. Dauginant du neigiamus skaičius, reikia dauginti jų modulius.
Dalyba (: , /)
Padalinti - tai pirmąjį skaičių sumažinti antrojo skaičiaus kiekiu. Padalinus du neigiamus skaičius, atsakymas bus teigiamas. Ženklai: : arba /.
Kiti svarbūs matematiniai ženklai
Be pagrindinių aritmetinių veiksmų ženklų, matematikoje naudojama daugybė kitų simbolių, skirtų įvairioms sąvokoms ir operacijoms žymėti.
Lygybė ir nelygybė
Lygybės ženklas (=) rodo, kad dvi išraiškos turi tą pačią reikšmę. Nelygybės ženklai (> - daugiau, < - mažiau) rodo, kuris iš dviejų dydžių yra didesnis arba mažesnis. Taip pat naudojami ženklai ≥ (daugiau arba lygu) ir ≤ (mažiau arba lygu).
Procentai (%)
Procento ženklas % kildinamas iš italų kalbos žodžio cento ( šimtas ), kuris procentiniuose skaičiavimuose dažnai buvo rašomas sutrumpintai cto. Vėliau, greitraštyje paprastinant rašybą, raidė t virto pasviru brūkšneliu ir taip atsirado dabartinis procento ženklas - %.
Laipsniai ir šaknys
Šiuolaikinį užrašą Y², Y³, Y4 ir t.t. pradėjo vartoti Dekartas ir sistemingai jį vartojo savo “Geometrijoje”. Nuo XIII a. italų ir kiti Europos matematikai šaknį žymėjo lotynų kalbos žodžiu Radix ( šaknis ) arba sutrumpintai R, vėliau Ŗ. Dabartinis šaknies ženklas yra kilęs iš XV - XVI a. vokiečių matematikų vartoto ženklo. Tik 1637 m. Renė Dekartas šaknies ženklą sujungė su horizontaliu brūkšneliu ir savo “Geometrijoje” šaknies ženklą jau žymėjo √¯ . Taip, kaip dabar, šaknį pirmą kartą užrašo prancūzas Rolis 1690 m . savo knygoje “Algebros vadovėlis”. Dabartinis šaknies ženklas visuotinai imtas vartoti tik XVIII a.
Operatorių tvarka formulėse
Formulės skaičiuoja reikšmes tam tikra tvarka. Formulė programoje „Excel“ visada prasideda lygybės ženklu (=). Lygybės ženklas nurodo "Excel", kad po to einantys simboliai sudaro formulę. Po lygybės ženklo yra skaičiuotinų elementų (operandų, pvz., skaičių ar langelių nuorodų), kurie yra atskirti skaičiavimo operatoriais (pvz., +, -, *, arba /). Vienoje formulėje sujungus kelis operatorius, programa „Excel“ veiksmus atlieka tam tikra tvarka. Norėdami pakeisti vertinimo tvarką, apskliauskite formulės dalį, kurią reikia apskaičiuoti pirmiausia. Pavyzdžiui, ši formulė sukuria 11, nes "Excel" apskaičiuoja daugybą prieš sudėtį. Jeigu skliaustų nėra, tai pirma dauginama arba dalinama, o po to sudedama ir atimama.
Operatoriai nurodo skaičiavimų, kuriuos norite atlikti su formulės elementais, tipą. Yra keturių skirtingų tipų skaičiavimo operatoriai: aritmetinis, palyginimas, teksto sujungimas (derinant tekstą) ir nuoroda. Naudodami šiuos operatorius galite lyginti dvi reikšmes.
Matematiniai ženklai įvairiose mokslo srityse
Matematiniai ženklai naudojami ne tik matematikoje, bet ir kitose mokslo srityse, tokiose kaip fizika, chemija, inžinerija ir ekonomika. Jie leidžia mokslininkams ir inžinieriams modeliuoti ir analizuoti sudėtingus procesus, taip pat perduoti informaciją efektyviai ir tiksliai.
- Fizika: Naudojami simboliai, tokie kaip Δ (pokytis), ∫ (integralas) ir Σ (suma), aprašyti fizikinius dydžius ir jų tarpusavio ryšius.
- Chemija: Naudojami simboliai, tokie kaip =, → ir ⇌, cheminėms reakcijoms ir jų pusiausvyrai vaizduoti.
- Inžinerija: Naudojami simboliai, tokie kaip ∇ (gradientas) ir ∂ (dalinė išvestinė), aprašyti sudėtingus inžinerinius procesus ir sistemas.
Šiuolaikinė matematinių ženklų simbolika
Dabartinė algebros simbolika sukurta 14-17 amžiuje. F. Viète’as Įvade į analizinį meną (In artem analyticam isagoge 1591) lygčių kintamuosius žymėjo lotynų abėcėlės didžiosiomis balsėmis, koeficientus - priebalsėmis. 14 a. pabaigoje-17 a. pradžioje pradėta vartoti lygybės ženklą, įvairius skliaustus, trupmenos pradėtos rašyti taip, kaip rašomos iki šiol. Williamas Oughtredas (Anglija) vartojo apie 150 matematinių ženklų; iš jų iki šiol vartojami daugybos ×, pliuso arba minuso ± ženklas, t. p. vartojami Pierreʼo Hérigone’o (Prancūzija) pasiūlyti kampo ∠ ir statmenumo ⊥ ženklai. R. Descartes’as Geometrijoje (La Géométrie 1637) patobulino algebrinę simboliką - kintamuosius žymėjo paskutinėmis lotynų abėcėlės mažosiomis raidėmis x, y, z, jų laipsnius (laipsnio rodikliai tik teigiamieji) x², x³, …, laisvuosius narius - pirmosiomis lotynų abėcėlės raidėmis a, b, c, … . Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo dabartinius simbolius sukūrė G. W. Leibnizas 17 a. pabaigoje. 18 a. L. Euleris pradėjo vartoti funkcijos f(x), pokyčių Δx, Δy, sumos ∑, trigonometrinių funkcijų matematinius ženklus, J. L. de Lagrange’as - atvirkštinių trigonometrinių funkcijų, A.-M. Legendre’as - dalinių išvestinių matematinius ženklus. 19 a. pabaigoje-20 a. pradžioje atsirado matematinė logika ir jos matematiniai ženklai.
Kiti šiuolaikiniai simboliai
Tarp daugybės šiuolaikinių matematinių ir techninių simbolių, naudojamų skaitmeninėje aplinkoje, galime rasti tokius kaip: Ω - omo ženklas (tačiau tai ne Ω, omega didžioji), μ - mažoji “miu” (arba mikro- µ), ¹²³ - superskriptiniai skaičiai. Taip pat naudojami ≈ (beveik lygu), ≠ (nelygu). Dažnai pasitaikančios trupmenos: ½ ¼ ¾ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞. Šaknis žymima √. Kiek matematikos: ≤ ≥ ∞ ± × ÷. Laipsnių simbolis ° (00B0) yra vienas iš specifinių simbolių, kurį svarbu atskirti nuo kitų panašių ženklų. Šiame forume palaikomas [tex]\LaTeX[/tex] kalbos modulis.
MS Word formulės įterpimas naudojant LaTex lygtį - 1 minutė
Matematinė reikšmė nestandartiniame kontekste: atvejo studija 1+2+3+4+... = -1/12
Nors matematinių ženklų prasmė dažniausiai yra aiški ir universaliai suprantama, egzistuoja sudėtingesnių atvejų, kur išraiškoms priskiriamos reikšmės gali atrodyti prieštaringos intuityviam supratimui. Vienas tokių pavyzdžių - lygybė 1+2+3+4+… = -1/12, kuri sulaukė nemažo atgarsio internete. Nuorodą į šį video su trumpu ,,paaiškinimu“ išplatino ir mūsų internetinė žiniasklaida (žr. technologijos.lt, DELFI). Tačiau video pristatymas ir jo ,,paaiškinimas“ mūsų žiniasklaidoje pateikti taip lyg nurodyta lygybė teisinga ir samprotavimuose klaidų nėra.
Nenuostabu, kad gerai matematikos neišmanantis skaitytojas suabejoja savo matematikos žiniomis ir dar labiau įsitvirtina sau mitą, kad matematika yra keista žinių sritis, kurią gali suprasti tik ypatingus (mistinius) gebėjimus turintys žmonės. Nemanau, kad taip siekiama ką nors klaidinti. Tą rodo ir žiniasklaidos tekstų pavadinimai. Internetinis portalas technologijos.lt savo teksto pavadinime panaudojo terminą matemagika.
Formaliosios eilutės ir sumos sąvoka
Matematiškai tvarkingas pristatymas galėtų būti formuluojamas taip: Kodėl reiškiniui 1+2+3+4+… priskiriame reikšmę -1/12? Toks klausimas nepretenduoja paaiškinti, kodėl -1/12 yra lygus reiškiniui 1+2+3+4+…, arba yra šio reiškinio suma. Lygybė yra prasminga tik tarp dviejų vienareikšmiškai apibrėžtų objektų. Tuo tarpu reiškinio 1+2+3+4+… prasmė nėra akivaizdi; paprastai apibrėžiama arba numanoma iš konteksto.
Matematikoje reiškinys 1+2+3+4+… vadinamas formalia begaline eilute. Žodis ,,formali“ vartojamas tada, kai begalinei eilutei nėra priskirta kokia nors reikšmė arba ji nėra žinoma. Šiuolaikinėje matematikoje paprastai su begaline eilute siejamas skaičius yra jos dalinių sumų riba, jei tokia egzistuoja, ir toks skaičius vadinamas begalinės eilutės suma. Šia, standartine prasme, teiginys (1), be abejonės, yra neteisingas.
Diverguojančios eilutės pavyzdys
Priminsiu, kad skaičių seka yra kuria nors tvarka sunumeruoti skaičiai. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibės elementai, sunumeruoti didėjimo tvarka, sudaro seką , kurios bendrasis narys kiekvienam . ir vadinama formalia eilute. vadinami sekos dalinėmis sumomis. tai sakoma, kad eilutė (2) konverguoja ir dalinių sumų riba S vadinama eilutės (2) suma. Mūsų atveju, reiškinys 1+2+3+4+… yra sekos, kurios nariais yra natūralieji skaičiai išdėstyti didėjimo tvarka, formali eilutė. tai yra baigtinės aritmetinės progresijos suma. Be abejonės, šių dalinių sumų riba neegzistuoja. Tokiu atveju sakoma, kad eilutė diverguoja arba eilutė nesumuojama. Taigi, standartine prasme formali eilutė 1+2+3+.. diverguoja.
Reikšmės priskyrimas nestandartine prasme
Tačiau yra prasmė kalbėti apie reikšmės priskirimą 1+2+3+4+…, kuria nors nestandartine prasme. Tokių prasmių yra keletas (tam tikros funkcijos analizinis pratęsimas arba diverguojančių eilučių sumavimo metodas) ir jos iš tikro mūsų nagrinėjamam reiškiniui 1+2+3+4+… priskiria reikšmę -1/12. Bet tai yra kas kita negu tvirtinti ,,begalinės sumos“ lygybę konkrečiam skaičiui.
Analizinis tęsinys ir Riemanno dzeta funkcija
Norėdamas kaip galima greičiau pereiti prie reikalo, pradėsiu nuo gerokai bendresnių faktų priminimo. konverguoja (absoliučiai) ir šios eilutės suma apibrėžia Eulerio funkciją . Kai , Eulerio funkcijos reikšmė yra , t.y. Pastebėkime, kad atveju (3) lygybės dešinėje pusėje esanti išraiška tampa 1+2+3+…. Taigi, nors ši formali eilutė diverguoja, galima bandyti ,,pratęsti“ funkcijos apibrėžimą į sritį, kuriai priklauso -1.
MS Word formulės įterpimas naudojant LaTex lygtį - 1 minutė
Analizinių funkcijų savybės ir tęsiniai
Klausimas: Kokias Eulerio funkcijos savybes norėtume išsaugoti ,,pratęstoje“ funkcijoje. Matematikoje ,,geriausiomis“ funkcijomis laikomos tos, kurios yra ne tik pačios diferencijuojamos, bet jų išvestinės yra diferencijuojamos, ir antrųjų išvestinių išvestinės diferencijuojamos ir t.t., sakoma, kad tokios funkcijos yra be galo daug kartų diferencijuojamos. Tokios funkcijos (su papildoma sąlyga, kad jų Tayloro eilutė konverguoja lokaliai) vadinamos analizinėmis. Jei turime funkciją , apibrėžtą atvirame realiųjų skaičių intervale , tai funkcija apibrėžta didesnėje srityje (pavyzdžiui, visoje kompleksinių skaičių aibėje ir tokia, kad visiems vadinama funkcijos tęsiniu.
Riemanno dzeta funkcijos reikšmė
Pasirodo, kad Eulerio funkcija turi tęsinį į visą kompleksinę plokštumą iš kurios išmestas taškas su koordinatėmis (1,0) ir funkcija yra analizinė visoje savo apibrėžimo srityje. Daugiau apie Riemanno dzeta funkcijos konstrukciją ir jos svarbą galima išgirsti šiame 20 min. Taigi, Bernhardas Riemannas 1859 (šiame darbe) įrodė, kad (3) formule apibrėžtą Eulerio funkciją galima pratęsti priskiriant naujas reikšmes kai yra bet kuris kompleksinis skaičius nelygus vienetui. Atskiru atveju ši funkcija turi reikšmes kai ir t.t. čia yra Bernoulli skaičiai. Turėdami Riemanno funkciją galime apibrėžti formalios eilutės (3) ,,sumą“ kompleksiniams skaičiams . Tai ir yra nestandartinė formalios eilutės (3) sumos apibrėžtis kai . kai . Standartine prasme kairėje esančios formalios eilutės diverguoja.
Taigi, klausimo ,,Kodėl reiškiniui 1+2+3+4+… priskiriame reikšmę -1/12?“ atsakymas: Tai yra vienintelės analizinės funkcijos, sutampančios su Eulerio funkcija (3) intervale , reikšmė taške .
Analizinio tęsinio analogija
Here is analytic continuation by imperfect analogy: I have a car that can drive on many roads, but not up snow-covered mountains; I buy a tank exoskeleton for my car that I can drive my car into and now my car-tank can go everywhere my car could go and up snow-covered mountains, too. I would never say that my car can drive up snow-covered mountains, but my car-tank can. This is the idea of analytic continuation. which is defined only on the subset of the complex numbers where the real part of is . We want to plug into this formula, but have no sensical way of doing that yet so we construct a car-tank, a function which is defined on a larger region that includes and is equal to where both are defined. The function is the analytic continuation of . If we evaluate at we get . for values of with real part . If we take to mean , then the original statement is true, but that’s obviously not what we mean by in calculus so the uproar is completely justified. So, analytic continuation is one way to get the infinite series up the mountain to without pissing everyone off.
Kiti diverguojančių eilučių sumavimo metodai
Tačiau suteikiamas reikšmes (4), (5), (6) ir (7) galima paaiškinti ir be analizinio tęsinio sąvokos, naudojant diverguojančių eilučių sumavimo teoriją. Detalus paaiškinimas yra Terence Tao tinklaraščio What’s new 2010 m. balandžio 10 d. įraše The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation. Naudodamasis šiuo įrašu pateiksiu tik vieną pastebėjimą. Vienas iš būdų nagrinėti diverguojančias eilutes yra jų dalinių sumų keitimas suglodintomis sumomis , čia funkcija turi kompaktišką apibrėžimo sritį ir nulyje lygi vienetui, yra laisvas kintamasis, gali būti natūralusis skaičius. Jei nagrinėjama pradinė eilutė konverguoja (mūsų atveju kai ), tai suglodinta suma konverguoja į paradinės eilutės sumą kai neaprėžtai didėja (,,konverguoja į begalybę“). Todėl nagrinėjama suglodintų sumų asimptotinis elgesys kai neaprėžtai didėja. Lygindami pastaruosius keturis sąryšius su (4), (5), (6) ir (7) galime pastebėti, kad analizinio tęsinio reikšmės sutampa su atitinkamų suglodintų sumų asimptotinių skleidinių pastoviaisiais nariais.
Kontroversija ir klaidingi aiškinimai
Šio įrašo pradžioje minimas ir YouTube paskelbtas fizikų pristatymas ASTOUNDING sukėlė nemažą nepasitenkinimo bangą. Nenuostabu, kad daugelis žmonių pasipiktino tokiu aiškinimu. Kažkas panašaus būtų jei fizikos dėsnius aiškintų astrologas remdamasis savo fantazija. Šiame pristatyme daroma tipiška klaida atliekant įvairius veiksmus su diverguojančiomis eilutėmis. Tokiu būdu galima įrodyti ir nebūtinai iš esmės teisingus rezultatus, kaip šiuo atveju. Internete netruko pasirodyti nemažai pasipiktinusių žmonių tekstų.
Štai keletas pavyzdžių, atspindinčių reakciją į šį pristatymą:
- Fiziko Dr. Fiziko G.M. Martin tinklaraščio Of Prime Interest įrašas More Infinite Series Madness.
- Fiziko Luboš Motl tinklaraščio The reference frame įrašas Sum of integers and oversold common sense (2014 sausio 18 d.), kuriame autorius rašo apie fizikinę intuiciją, kuri įgalina suteikti konkrečias reikšmes standartine prasme diverguojančioms formalioms eilutėms.
- Fiziko Luboš Motl tinklaraščio The reference frame įrašas Eta function and sum of positive integers (2014 sausio 20 d.).
- Fiziko Luboš Motl tinklaraščio The reference frame įrašas A recursive evaluation of zeta of negative integers.
PS. Šio įrašo preteksu yra fizikų darbas. Dauguma mano aukščiau cituojami autoriai taip pat nėra matematikai. PPS. Praėjus keturiems metams, 2018 sausio 13, internete susidūriau su matematiko video demaskuojančiu Numberphile video.
tags: #matematinis #zenklas #virs